两个有悖常识的概率题

1、一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,则这时另一个小孩是男孩的概率是多少?(假定生男孩和生女孩的概率是一样的)

解答:一个家庭中有两个小孩只有4种可能:{男,男}、{男,女}、{女,男}、{女,女}。记事件A为“其中一个是女孩”,事件B为“另一个是男孩”,则:
A={(男,女),(女,男),(女,女)},
B={(男,女),(女,男),(男,男)},AB={(男,女),(女,男)}。
可知,P(A)=3/4,P(AB)=2/4
由条件概率公式:P(BA)=P(AB)/P(A)=(2/4)/(3/4)=2/3

通俗一点讲两个小孩的4种可能中,由于一个孩子已经是女孩了,所以排除{男,男}这种可能。也就是总过有3种可能,而带有男孩的有2种,所以概率是2/3。这里很容易答成1/2,如果题目修改为“一个家庭中生了一个孩子是女孩,那么再生一个是男孩的概率是多少?”,这种情况概率就是1/2了,两者的不同是原题是一个条件概率事件,而修改后的题目是两个独立事件。

2、假设一个班有50个同学,那么他们中有人生日相同的概率是多少?(假设一年有365天,即不考虑闰年的情况)

解答:直接上答案,约等于97%!!
我们先考虑简单的情况,如果房子里有1个人,那么其他人与他生日相同的概率,很显然是0,因为就没有其他人。
另一个极端情况,如果房子里有366个人,由于一年只有365天,那么至少有1人会跟其他人生日一样,所以有人生日相同的概率是1。
慢慢推到,如果房子里有2个人,两者生日各不相同的概率很显然是364/365,那么两者有生日相同的概率就是1-364/365。
我们再推广到三个人,第三个人与前两个人生日不相同的概率是363/365,那么三个人生日都不相同的概率是(364/365)*(363/365),此时三者有人生日相同的概率就是1-(364/365)*(363/365)。
貌似你已经发现规律了,如果有n(1~365之间)个人,那么他们生日都不相同的概率是(364/365)*(363/365)*(362/365)…*((365-n)/365),此时n个人有生日相同的概率就是1-(364/365)*(363/365)*(362/365)…*((365-n)/365)。
这个式子懂了,我们就计算吧,为了方便计算我把n个人生日都不相同的概率封装了一个JavaScript方法:

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const birthdayProbability = (num) => {
if(num <= 1) {
return 0;
} else if(num > 365){
return 1;
}
let result = 1;
for(let n = 1; n < num; n++) {
result *= (365 - n) / 365;
}
return result;
}

那么n个人中有人生日相同的概率,就是1 - birthdayProbability(n),我们现在算一下n=50的情况,得到的结果是0.9703735795779884。下面列出一些n的不同时,1 - birthdayProbability(n)的值:

n 1 - birthdayProbability(n)
23 0.5072972343239857
30 0.7063162427192688
35 0.8143832388747153
41 0.9031516114817354
50 0.9703735795779884

由上可见,每23个人中生日相同的概率竟然超过了50%,是不是跟我们想的有点不一样呢?

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